Эффективная масса носителей заряда

Выше было показано, что энергия электрона, перемещающегося внутри кристалла в виде волнового пакета, определяется из выражения (1.24)

W=(k)²/2m*,

где, как и прежде  W -  энергия электрона, Дж;  k­­ - значение волнового числа, м^-1;  - постоянная Дирака, а величина m* имеет смысл эффективной массы электрона.

Исходя из корпускулярных представлений эффективная масса - это  масса заряженной частицы, движущейся внутри кристалла.

Дважды продифференцируем выражение (1.22) по значению волнового числа k:

;              .

Из второго выражения следует, что эффективную массу носителей заряда в кристалле можно рассчитать из выражения

 ,кг.                                      (1.31)

Из выражения (1.31) следует, что эффективная масса электрона оп­­ределяется значением второй производной функ­ции W=f(k).

В ка­­­честве при­мера рас­считаем по формуле (1.31)  эффективную мас­­­су свободного эле­к­т­ро­на, когда за­ви­си­мо­сть энергии эле­_­к­т­ро­­на от волнового вектора выражается па­ра­бо­лической за­ви­си­­мо­стью ви­­да (1.22). Поскольку d²W/dk²= /m, то подста­но­вка этой ве­ли­чи­­ны в (5.8) дает m*=m. Сле­­­довательно, эф­­фективная масса сво­бо­д­­ного эле­к­тро­на равна  его мас­се покоя.

По­­­­­ня­­­тие эффективной массы но­сителей заряда значительно уп­ро­­щает математическое опи­са­ние движения но­си­те­лей в по­тен­­ци­­аль­ном поле кристаллической ре­ше­тки.

Рассмотрим далее зависимость скорости носителей заряда от волнового числа.

 Дифференцируя значение W в выражении (1.22) мы полу­чили, что dW/dk=k/m*. Из урав­­не­ния (1.20) следует, что груп­­по­вая ско­рость v_е волнового пакета, об­ла­­да­­ю­щего квазиим­пу­льсом  P=m*v_е, при его дви­жении  в пе­ри­о­ди­­че­с­ком поле кри­­стал­­ли­че­с­­кой ре­шетки  оп­­ре­де­ляется  со­от­но­шением

, м/с,                                       (1.32)

Оценим величину v_е. Для этого из выражения (1.26) рассчитаем ма­к­­си­ма­ль­­ное зна­че­­ние во­л­нового числа  k эле­к­т­ро­нов в крем­нии, ко­­торое при зна­чении параметра кри­сталлической решетки кре­м­ния a_Si=0,543 нм составляет 6×10⁹ м^-1.  В этом случае из со­от­но­ше­ния (1.32) для ско­­ро­сти электрона v_е по­лу­чим ве­ли­чи­ну около 6×10⁵ м/с.

На рис. 1.19, а пре­д­­­ста­в­ле­на за­ви­си­мость W(k) для нижней энергетической зоны в пре­де­лах первой зо­­ны Бриллюэна , построенная в соответствии с вы­­ражением (1.28). Энергия эле­ктрона вбли­зи дна зоны проводимости (при ka<<1) определяется путем раз­ло­жения фун­кции cos(ka) в ряд Мак­лорена: cos(ka)1-(ka)²/2!+..., откуда из формулы (1.28) следует, что

 W(k)W_о+(ga²k²)/2=W_мин+Аk²,                               (1.33)

где W_мин - минимальное значение энергии при k=0; А=(ga²)/2 - по­стоян­ная.

График кривой (1.33) является квадратич­ной параболой.

Подставляя результат диф­фе­рен­ци­рования дисперсионной кривой (1.33) по k в фор­му­лу (1.32), получим, что вблизи дна и в средней ча­сти зоны зна­че­­ние групповой скорости электрона определяется вы­­ра­жением v_e= gka²/, то есть  линейно зависит от изменения во­л­­­­­­­­нового чи­с­ла k (рис. 1.19, б).

Рассмотрим теперь зависимость эффективной массы от вол­но­во­­­го числа для электрона, находящегося в периодичес­кой одно­ме­­р­­­ной решетке (рис. 1.19, в.).

 Для эффективной массы электро­на в со­ответствии с формулой (1.31) получим выражение m*=/ga². Сле­­довательно, вбли­­­зи дна и в средней части разрешенной зо­­ны эф­фе­ктивная мас­са электрона является постоянной и по­ло­жи­­те­ль­ной вели­чи­ной. Заметим, что при возрастании ши­­ри­ны раз­­решен­ной зо­ны  (что происходит с увеличением па­ра­­­ме­т­ра g) эф­­­фек­тивная масса эле­ктрона уменьшается, а скорость эле­ктро­на v_е увеличивается.

Вблизи границ первой зоны Брил­люэна  ско­рость эле­к­т­ро­­нов v_e   про­хо­­дит че­рез максимум, а на границах зо­ны (k=p/a) ста­но­вится ра­­­вной нулю (рис. 1.19, б), что соответствует оста­нов­ке и отра­же­нию электрона. Поэ­тому вб­ли­зи границы зо­­ны Бриллюэна зна­че­ние эффективной мас­сы эле­к­трона воз­­ра­с­та­ет до бесконечности, а фу­н­­кция m*(k) пре­те­р­пе­ва­ет разрыв и ме­ня­ет знак на отри­ца­тельный (рис. 1.19, в). Та­ким образом, эф­­фек­ти­в­ная масса элек­т­ро­на вблизи пото­л­ка раз­ре­­шенной зоны является от­рицательной ве­ли­чиной, т. е. m*<0.

В таблице 1.4. приведены значения эффективных масс электронов и дырок в различных полупроводниковых материалах.

 

Таблица 1.4
Полупроводник	Si	Ge	GaAs	In Sb
Эффективная масса электронов,	1,06m0	0,22m0	0,07m0	0,01m0
Эффективная масса дырок,	0,56m0	0,39m0	0,5m0	0,5m0