В квантовой теории вероятность заполнения энер­ге­­­­тических состояний электронами определяется функцией рас­пределения Фер­ми- Дирака:

,                            (1.10)

где W - энергия уровня,  вероятность заполнения которого оп­ре­де­ляется при температуре T; k - постоянная Больцмана.

 Си­стемы ми­кро­ча­с­тиц, свойства которых опи­сы­ва­ют­ся рас­пре­­де­ле­нием Ферми-Ди­ра­ка (1.10), называются вырож­де­н­­ными.

При Т=0 график функции Ферми имеет вид, изображен­ный на рис. 1.15, а.

Из рис. 1.15, а и формулы (1.10) при Т=0 вытекают сле­ду­ю­щие соотношения:

f(W, 0)=1        для W<W_F,                                (1.11а)

f(W, 0)=0        для W>W_F,                                (1.11б)

f(W, 0)={0,1}  для W=W_F.                                (1.11в)

 

При нагревании металла электронам сообщается тепловая эне­­­р­гия, величина которой определяется произведением kT. Зна­че­­ние этой энергии невелико. Например, при комнатной тем­пе­ра­ту­ре (око­ло 300 К) значение тепловой энергии электронов оп­ре­де­­ля­ет­ся величиной W_т=0,026 эВ. Однако за счет теплового воз­бу­­ж­дения существует вероятность того,  что некоторые эле­к­тро­ны с энер­гией, близкой к энергии уровня Ферми, начинают за­по­л­­­нять со­стояния с более высокой энергией. В результате график фун­­к­ции Ферми при Т=0 теряет ступенчатую форму и становится бо­­лее пологим, как это показано на рис. 1.15, б. Из формулы  (1.10)  для  Т>0 вытекают следующие соотношения:

f(W, Т)1  для W<W_F,                             (1.12а)

f(W, Т)0  для W>W_F,                             (1.12б)

f(W, Т)=1/2 для W= W_F.                             (1.12в)

Из соотношения (1.12в) следует, что вероятность "нахождения" электрона на уровне Ферми составляет 0,5.

При выполнении условия W-W_F >>kT выражение (1.10) для функции распределения Ферми-Дирака переходит в закон распределения Больцмана, т.е:

.                       (1.13)

Распределение Больцмана широко используется при расчетах концентрации электронов в полупроводниках.

Следует подчеркнуть, что средняя энергия элек­т­ро­нов в метал­ли­ческом  кристалле с ростом температуры прак­тически  не изменяется, по­скольку в результате на­грева воз­буждается лишь малая часть электронов, имеющих энер­гию, близкую к энергии уровня Фер­ми (около 1%). Кстати, это об­­сто­я­тель­ство объ­ясняет малую теп­лоемкость электрон­но­го газа в кри­с­тал­лах. Из сказанного также следует, что согласно при­н­ци­пу Паули в про­­­­­це­ссе электропроводности могут принимать учас­тие не все сво­­­­­­бо­­дные электроны, а только небольшая их часть, имею­щая эне­­­­р­гию, бли­зкую к энергии уровня Ферми. Только эти элек­­тро­ны спо­со­б­ны изменять свое состояние под действием внеш­­него эле­­­­­к­три­чес­кого  поля, приложенного к кристаллу.

Воспользовавшись формулой (1.10) для вероятности за­пол­не­ния электроном энергетического уровня найдем выражение   для  фун­кции распределения электронов по энергиям в метал­ли­ческом кри­с­талле. Количество энергетических состояний электронов dn, при­хо­дя­­щихся на интервал энер­гий dW, определяется из соотношения

dn=N(W)f(W)dW,  м^-3,                                   (1.14)

где N(W) - плотность разрешенных состояний, при­хо­дя­щи­хся на единичный интервал энергии в единице объема кри­с­тал­ла, м^-3Дж^-1; f(W) - функция Ферми-Дирака.

Значение функции N(W) рассчитывается из выражения (1.7). Подставляя в формулу (1.14) значение N(W) из (1.7), полу­чим вы­ражение для плотности разрешенных состояний элек­т­ро­нов dn в интервале энергий dW в виде

 f(W), м^-3Дж^-1.                (1.15)

Проведем  анализ  этого  выражения  для   температуры Т=0. Оче­­вид­но, что для W<W_F величина f(W)=1. Поэтому зна­чение dn/dW оп­ре­де­ляется выражением вида (1.7)

                        , м^-3Дж^-1.

Для значений энергии электрона W, превышающих энер­гию уро­вня Ферми W_F, т.е. для W>W_F, величина dn/dW=0. Графики  фу­­­нкций dn/dW для Т=0 и Т>0 представлены на рис. 1.16, а и б, со­­­ответственно.

 

 

Проводя интегрирование формулы (1.14) для Т=0 в пределах ин­­те­грирования от W=0 до W=W_F рассчитаем общее число со­с­то­­я­ний, ко­то­рые могут быть заняты электронами на раз­ре­шен­ных  уро­внях энергии. Это число определяется соотно­ше­нием

 .                                (1.16)

Из (1.16) следует, что n=(8p/3)(2m^*/h²)^3/2W_F^3/2, м^-3. Из этого вы­­­ра­жения можно получить формулу для расчета значения энер­гии уро­в­ня Ферми в виде

, Дж.                               (1.17)

В качестве примера рассчитаем по формуле (1.17) значение энер­гии уровня Фер­ми для одновалентной меди, характеризующейся пло­тностью элек­т­рон­но­го га­за, чис­­ленно равной количеству атомов, содержащихся в 1 м³ ме­­­ди. Для этого по формуле

, м³,

где А=6,02×10²⁶ кмоль^-1 - число Авогадро; р - плотность веще­с­т­ва, кг/м³; M - молярная масса вещества,  кг/кмоль.

Рассчитаем коли­че­с­т­во атомов N, содержащихся в 1 м³ ве­­­ще­­с­т­ва. Для ме­ди p=8,9×10³ кг/м³, M=64 кг/кмоль. Следовательно, ко­ли­че­ство атомов и, соответственно, количество свободных эле­к­т­ро­­нов в 1 м³ меди соста­в­­ляет величину N=n=(6,02×10²⁶)(8,9×10³)/64=8,37×10²⁸ м^-3. Подставляя это значение n в формулу (1.16) и, учи­ты­­вая, что 1 Дж=6,24×10¹⁸ эВ, получим для величины эне­р­гии уро­­в­ня Фер­ми W_F в меди значение 7,98 эВ.