Процессы рекомбинации неравновесных

носителей тока в полупроводниках

Как отмечалось выше (см. п. 1.6.1) для полупроводников хара­к­­те­­рен процесс генерации носителей заряда (элек­тро­нов и дырок), про­ис­хо­дя­щий под влиянием различных возбуж­дающих воз­дей­ст­­вий. К таким воздействиям относится тепловое возбуж­де­ние, ос­­вещение или облучение полупроводника ионизирующими час­ти­цами, воз­дей­ст­вие электри­ческих или магнитных полей, ин­жек­ция но­си­телей заряда че­рез контакт двух полупроводников -  p-n переход. Про­цесс гене­ра­ции характеризуется ско­ро­стью генерации G, пред­ста­в­­­ляющей коли­че­с­тво носителей, созданных в единице объема по­лу­­про­вод­ни­ка в единицу времени, м^-3сек^-1.

Одновременно с процессом ге­не­рации всегда протекает об­­рат­ный процесс - рекомбинация но­си­телей заряда. Реком­бинация за­клю­­­­чается в том, что электроны, пе­решед­шие в зону про­во­ди­мос­ти или на акцепторные уровни, вновь возвращаются в валентную зо­­ну или на донорные уровни. Этот процесс приводит к умень­ше­­­нию концентрации свободных носителей заряда и ха­ра­к­те­ри­зу­ется скоростью рекомбинации R, представляющей ко­ли­че­с­тво но­­сителей, рекомбинирующих в единице объема полу­про­вод­ни­ка в единицу времени, м^-3сек^-1.

Динамическое равновесие между процессами генерации и ре­ко­­м­­­­­бинации при постоянной температуре характеризуется ра­ве­н­с­­­твом G=R и приводит к уста­нов­ле­нию рав­­но­вес­ной ко­н­цен­т­ра­ции носителей, - электронов n_o и ды­­рок p_o. Такие носители за­ря­да называются равновесными. При воз­­­дей­ствии на полу­про­вод­ник других нетепловых факторов воз­­­буждения носителей (осве­ще­ние, инжекция через p-n переход и т. д.) в по­­лу­про­вод­ни­ке по­яв­ляются до­по­л­ни­тель­ные - неравновесные но­си­тели за­ря­да, ха­ракте­ризу­ющи­е­ся избы­точ­­ной концентрацией эле­ктронов Dn и ды­рок Dp. По­л­ная концентрация электронов n и дырок p в по­лу­­про­воднике, со­держащем неравновесные но­си­те­ли заряда рав­на, соот­вет­ст­вен­но

n=n_o+Dn,   p=p_o+Dp.                                       (2.38)

После прекращения нетеплового возбуждения концентрация но­­си­те­лей заряда в полупроводнике возвращается к значению, ха­рак­тер­но­му для равновесного со­стояния. В результате из­бы­точ­ные концентрации носителей за­ря­да Dn и Dp за счет процесса ре­ком­би­на­ции спадают до нуля. Средняя длительность времени ре­­лаксации этого процесса носит название среднего времени жиз­ни носителей заряда, t.

Число центров рекомбинации w_n и w_p, встречающихся на пути нерав­новесных электронов и дырок в единицу времени, вы­ра­жа­ет­­ся со­­от­но­шениями

w_n=rp_o,   w_p=rn_o, сек^-1,                                    (2.39)

где r - коэффициент рекомбинации носителей заряда, м³/с, зна­че­ние которого определяется из выражения (1.37).

Из (2.39) следует, что средние времена жизни электронов t_n и ды­рок t_p до завершения процесса рекомбинации определяются следу­ю­щими выражениями

t_n=1/w_n=1/rp_o,   t_p=1/w_p=1/rn_o,                         (2.40)

Значения времен жизни неравновесных но­си­телей заряда оп­ре­де­ля­ют величину быстродействия по­лу­про­вод­ни­ко­во­го при­бо­ра - чем мень­ше время жизни t, тем выше пре­де­ль­ная частота f_пр то­­ка или напря­жения, на которой можно применять дан­ный при­бор, поскольку f_пр ~1/t.

Из выражений (2.40) следует, что значение коэф­фи­ци­­ента рекомбинации r можно рассчитать по формулам r=1/p_оt_n или r=1/n_оt_p. Под­ставляя эти значения r в формулу (1.36) и полагая n_i=n_о, p_i=p_о, по­­лу­чим, что ско­­рость рекомбинации R носителей за­­ря­да в по­лу­проводнике мо­жет быть рассчитана из выражения

, м^-3сек^-1.                                        (2.41)   

Таким образом, скорость рекомбинации R но­­сителей заряда пря­мо пропорциональна равновесным кон­цен­т­ра­циям носителей за­ряда n_о и p_о и обратно пропорциональна их временам жи­зни t_n и t_р.

Различают три разновидности процессов рекомбинации, про­и­с­­хо­дящих в объеме или на поверхности полупроводника: не­­пос­ред­ст­вен­ная (прямая) ре­ком­би­нация; ре­ко­м­би­на­ция через ло­­кальные примесные уровни; по­верх­нос­т­ная ре­ко­м­би­нация.

Непосредственная ре­ком­бинация

 Это одноступенчатый про­­­­­цесс, происходящий при прямом захвате электрона зоны про­во­­ди­­­мости дыркой из валентной зоны.

Реализацией механизма непосредственной ре­ком­би­на­ции яв­ля­­­ется межзон­ная рекомбинация. Межзонная реком­би­на­ция про­ис­ходит при переходе свободного элек­т­ро­на из зоны про­во­ди­мо­сти в валентную зону на один из сво­бод­ных энер­ге­ти­чес­ких уро­в­ней (рис. 2.6, а). В ре­зультате на­блю­­дается исчезновение па­ры но­сителей заряда - сво­бод­но­го эле­к­трона и дырки.

В зависимости от материала полупроводника в процессе меж­зо­­н­­­­ной рекомби­нации выделяется энергия в ви­­де квантов света (фо­­­тонов) или те­пловых квантов (фононов), как это условно по­ка­зано на рис. 2.6, а. В пе­рвом слу­­­чае ре­ком­бинацию на­зы­ва­ют излу­ча­тельной, во вто­ром - без­из­­лу­ча­те­ль­­ной.

Излучательная рекомбинация наблюдается при прямых (верти­каль­ных) межзонных переходах, происходящих с из­лучением фотона без изменения вол­нового числа электрона k=Р/, как изображено на рис. 2.6, б. Если обозначить значение волнового чи­сла электрона в зоне проводи­мости через k_c, а в валентной зо­не через  k_v, то разность  этих значений при прямых переходах удо­влет­во­ря­ет соот­но­шению k_c-k_v0. Приближенное равен­ст­во нулю оз­на­ча­ет, что из­лу­­ча­­емый фо­­­­тон об­ла­да­ет конечным, хотя и ма­лым, значением волнового чис­­ла k_ф=2p/l_ф.

Энергия, вы­де­ляемая в виде кванта света, равна ра­з­но­с­ти уровней энергий дна зоны про­во­ди­мости W_с и по­толка ва­ле­н­т­­ной зоны W_v, т. е. ширине запрещенной зо­ны DW_g по­лу­про­вод­ника:

W_с-W_v=DW_g=hn, эВ,                                  (2.42)

где n - частота волны излучаемого кванта света, Гц.

 

Поскольку n=с/l_ф, где с=2,998×10⁸ м/с - скорость света, то из (2.42) вытека­ет простая формула, позволяющая оценить длину во­л­ны l_ф ис­пу­с­ка­емого излучения в процессе излучательной ре­ком­­­би­на­ции:

, мкм,                                    (2.43)

где DW_g - ширина запрещенной зоны, эВ.

При обычных значениях ши­рины за­­­пре­щен­­ной зоны по­лу­­­про­во­д­ни­ков DW_g, равных 1...1,5 эВ, оце­н­ка величины l_ф по фор­му­ле (2.43) дает зна­чение длины вол­ны из­лучаемого фотона око­ло 10^{-6 м. Сле­до­вательно, ве­ли­чи­на k_ф}(2...7)×10⁶ м^-1, что зна­чи­те­ль­­но меньше вол­но­вого числа эле­к­трона k_n10¹⁰ м^-1. Соот­вет­ст­вен­но, значение им­пуль­са фотона Р_ф=k_ф почти на три по­ря­дка меньше им­пу­ль­са эле­к­тро­нов Р_n=k_n, учас­твующих в процессе ме­ж­­зонной рекомбинации. Пос­­ко­ль­ку им­пульс фотона ничтожно мал, делаем вы­вод о том, что в меж­­зон­ной излу­ча­тель­ной реком­би­­­­на­ции могут уча­с­тво­вать толь­ко те электроны и ды­р­ки, им­пу­ль­сы Р ко­­то­рых имеют про­ти­­во­по­лож­­­ные знаки и прак­ти­­чес­ки рав­ны по ве­­личине.

Как отмечалось в п. 1.5.8, к прямозонным полупроводникам от­но­сятся GaAs, а также InSb и ряд других. Полупроводниковые ма­­те­ри­а­лы, в которых наб­лю­да­­ется эффект излучательной ре­ко­м­би­­нации в p-n переходах, при­ме­няются для изготовления ин­ди­ка­то­­рных устройств - свето­ди­о­дов.

Безизлучательная рекомбинация - это процесс, наблюдаемый при непрямых межзонных переходах, происходящих с измене­ни­ем волнового чис­­ла электрона, то есть в этом случае разность k_c-k_v0 (рис. 2.6, б). Процесс бе­з­­излучательной рекомбинации со­п­ро­­вождается передачей час­ти энергии, выделившейся при пе­ре­ходе электрона из зоны про­во­­­­ди­мости в валентную зону, кри­с­тал­­лической решетке в виде боль­­­шого числа фо­но­нов с энергией . Часть энергии, выделившейся при ре­ком­би­нации, может быть пе­ре­­дана соседнему (третьему) носителю за­ря­­да, что при­­во­дит к ударной ионизации и разрыву ковалентной свя­­зи но­си­­теля за­ряда с атомом по­лупро­вод­ника. Величину из­ме­не­­ния энер­гии элек­­трона при без­излучательной реком­бина­ции мож­но пред­ста­вить в виде выражения

W_c-W_v=.                                     (2.44)

Безизлучательная рекомбинация наблюдается в непрямо­зон­ных полупроводниках, таких как Si, Ge, GaP и др.

Сле­дует отметить, что процесс непосредственной межзонной ре­­ко­м­­­бинации в широкозонных полупроводниках ма­ловероятен вслед­ствие рассеяния энергии избыточных носителей на тепловых колебани­ях решетки. Например, в Ge (DW_g0,67 эВ) ве­ро­ят­но­сть межзонной рекомбинации соста­в­ля­ет всего 10^-4. Ме­­ха­низм непосредственной рекомбинации является определяющим лишь в узкозонных полу­проводниках с ши­ри­ной за­пре­щен­ной зо­­ны DW_g<0,3 эВ, таких, как PbS (DW_g0,1 эВ), InSb (DW_g0,18 эВ). Од­нако вероятность непосредственной ре­ком­­бинации су­ще­ст­венно воз­­рас­тает при высоких уровнях ин­же­к­ции не­ос­нов­ных но­­си­те­лей за­­ря­да в полупроводнике, например при инжекции че­рез p-n пе­ре­ход. Это обстоятельство ис­по­ль­­зу­ет­ся, например,  при из­го­тов­ле­нии све­­­то­­диодов.

Процессы непосредственной рекомбинации характеризуются диф­­ференциальным уравнением рассасывания. Это уравнение представляет за­­­­висимость скорости убывания концентрации не­равно­весных но­­­­сителей  dn/dt и dp/dt, происходящей в результате вы­ключения ис­­­точ­ника инжекции, от разности скорости ре­ко­м­би­­на­ции не­рав­но­­весных носителей R и скорости генерации рав­но­­вес­ных но­си­телей заряда G_o=rn_op_o. При этом пред­по­лага­ет­ся, что в течение про­цесса рекомбинации выполняется условие эле­к­т­ро­­­­­не­й­­­т­ра­ль­но­­сти полупроводника, то есть концентрации из­бы­точ­­­­ных но­­­си­те­­­лей заряда равны между собой (Dn=Dp). Исходя из ска­­­­­зан­но­­го, выражение для дифферен­циаль­но­го уравнения рас­са­сы­­­­ва­ния можно записать в виде

-dn/dt=-dp/dt=R-G_o=rnp-rn_op_o,                                (2.45)

где n=n_o+Dn, p=p_o+Dp - концентрации неравновесных носителей за­ряда в полупроводнике, причем Dn<<n_o, Dp<<p_o.

От­ри­ца­те­ль­ный знак в левой части уравнения (2.45) указывает на умень­ше­ние кон­центрации носителей в процессе рекомбинации.

Подставим значения концентраций неравновесных носителей n и p в уравнение (2.45). Решая это уравнение относительно dn/dt и учитывая, что произведение DnDp0 из-за малости Dn и Dp, получим следующее дифференциальное уравнение

dn/dt=-r(n_oDp+p_oDn+DnDp) -r(n_o+p_o)Dn.                  (2.46)

Обозначим произведение r(n_o+p_o)=1/t, где t - среднее время жи­зни неравновесных носителей заряда в полупроводнике. Под­ста­­вляя это значение в уравнение (2.46), получим окон­ча­тель­ный вид дифференциального уравнения рассасывания при не­пос­ред­ст­венной рекомбинации носителей заряда

.                                          (2.47)

Записав это уравнение в виде d(Dn)/Dn=-dt/ t  и выполняя инте­г­ри­рование, получим ln(Dn)=C-t/t. В этом выражении  С - пос­то­ян­ный коэффициент, численно равный логарифму концентрации не­рав­новесных но­сителей заряда в начальный момент времени t=0, т. е. С=ln[Dn(0)]. Следовательно, решение диф­ферен­ци­а­ль­­но­го урав­не­ния (2.47) имеет вид экспоненты и характеризует спад избыточной концентрации носителей заряда:

Dn(t)=Dn(0)exp(-t/t).                                  (2.48)

График функции (2.55) пред­с­та­в­­лен на рис. 2.7. Из этого ри­сунка и урав­нения (2.48) можно оп­­ре­де­лить среднее время жиз­ни но­си­­те­лей заряда в полу­про­во­д­ни­ке t как среднее время жиз­ни из­бы­точ­ных носителей за­ря­да, в те­че­ние ко­­­то­­рого их кон­цен­­т­рация вс­ле­­­д­­с­т­вие ре­комбинации уме­нь­ша­ется в e2,73 раза.

Для собственного полу­п­ро­­­во­д­­ни­ка, содержащего эле­­­к­т­ро­ны и ды­­­­­р­ки, обратная величина сре­д­не­­го вре­мени жиз­­ни нерав­но­вес­ных но­си­те­лей заряда опре­де­ля­е­т­ся со­­от­но­шением 1/t=rn_o+rp_o. По­­­­­этому об­ратная величина вре­ме­­ни жи­зни носителей в соб­ст­ве­н­­­­ном полупроводнике скла­ды­ва­е­т­ся из об­ратных величин времен жиз­­ни электронов и дырок, то есть 1/t=1/t_p+1/t_n.

Очевидно, для по­­лу­про­вод­ни­­ков с эле­ктронной про­­во­ди­мо­стью среднее время жи­з­­­­ни носителей за­­ряда оп­ре­де­ля­е­тся средним временем жизни не­­­­основных но­­­сителей заряда (ды­рок), т. е. t=t_p, а для ды­ро­ч­ных полу­про­­­водников, на­­оборот, - вре­ме­нем жизни элек­тро­нов, t=t_n. В реальных полупровод­ни­ках из­меренное на опыте вре­мя жи­­з­­ни неравновесных но­­сителей за­ря­да достигает 10^-7...10^-6  сек.