Расчет концентрации электронов и положения уровня Фер­ми в дырочном полупроводнике

При расчете концентрации электронов и положения уровня Фе­р­­­ми в дырочном полупроводнике воспользуемся методикой, ко­­то­рая применялась нами  для анализа ста­ти­сти­ки носителей за­ря­­да в эле­ктронных полупроводниках. Полагаем, что при ком­нат­ной тем­пе­ратуре прово­ди­мость дырочного полу­про­вод­ника оп­­ре­деляется, гла­в­ным об­ра­­зом, дырками, об­ра­зо­ва­в­ши­мися при ио­­низации ак­це­пторной при­­меси. Дырки в по­лу­про­вод­никах p-ти­­­па про­во­ди­мо­сти на­зы­вают основными носителями за­ряда, а эле­­ктроны - не­ос­но­в­ными но­си­телями заряда.

Каждый однократно ионизированный атом акцепторной примеси (ак­це­п­тор) мож­но рассматривать как примесный центр, захвативший эле­­к­трон. Поэ­то­му первое уравнение эле­к­тронейтральности (1.38) для дыроч­но­го по­­лу­­про­вод­ника имеет следующий вид:

pp=,                                                 (2.28)           

где pp - концентрация свободных дырок в валентной зоне по­лу­про­­во­дника, м-3;   - концентрация ионизированных ак­це­п­то­ров на при­месных уровнях,  м-3.

Умножая левую и правую части уравнения (2.28) на  зна­­чение pp и решая полученное уравнение относительно pp, по­­лу­чим вы­ра­жение для закона действующих масс в дырочном по­­лу­про­­вод­ни­ке в виде , откуда следует, что ко­н­це­н­т­ра­ция ды­рок в по­лупроводнике p-типа проводимости опреде­ля­е­т­ся ура­в­не­нием ви­да

.                                            (2.29)

Для определения концентрации дырок pp и заряженных ак­цеп­­то­ров   в дырочном полупроводнике, применяется тот же ме­­тод, что и для рас­чета концентраций носителей заряда в эле­к­т­рон­­ном по­­лу­про­вод­нике. В результате получим, что ко­н­цен­т­ра­ция дырок в ды­рочном полупроводнике рас­счи­ты­вается по фор­му­ле

 .                                     (2.30)

Концентрация отрицательных ионов на примесных уровнях в ды­рочном полупроводнике определяется из выражения

,                                     (2.31)

где Na - эффективная плотность состояний электронов на  уров­нях акцепторной примеси, фактически представляющая кон­це­н­т­ра­цию  атомов акцепторной примеси,  м-3.

Подставив значения pp и  из выражений (2.30) и ( 2.31) в ура­­­в­­­­нение (2.29), получим, что концентрация дырок в дыроч­ном по­лу­проводнике рассчитывается по формуле

,                                 (2.32)

где DWa= Wa-Wv- энергия ионизации акцепторного уровня.

Так же, как и в случае электронных полупроводников, фо­р­му­ла (2.32) справедлива при расчетах концентрации ос­но­в­ных но­си­­те­лей заряда в дырочных полупроводниках для огра­ни­­­чен­­ного ди­­а­па­­­зо­на температур - от 0 до 30...70 К. Для дырочных полу­про­­­­во­д­ни­­ков остаются справедливыми также понятия тем­пе­ра­ту­ры ис­то­ще­­­ния и появления собственной проводимости при силь­ном на­г­ре­ве полупроводника. Значение температуры истощения Т=Тs и тем­пе­­­ратуры появления собственной проводимости Т=Тi рас­­­счи­ты­ва­ю­т­­ся по формулам типа  (2.22) и (2.23) с подстановкой в них соот­вет­ствующих значений определяемых величин:

,                                         (2.33)                                

.                                    (2.34)

Тем­пе­ра­­турная за­ви­симость концентрации носителей заряда p в по­лу­п­ро­воднике p-ти­па, построенная в координатах ln p=f(1/T), ана­­ло­гична пре­д­ста­вленной выше на рис. 2.3 для электронного полу­про­­водника. Эта зависимость характе­ризуется областями слабой ио­ни­зации, истощения и перехода к собственной проводимости.

Для определения положения уровня Ферми в дырочном по­­­лу­­­­­­проводнике воспользуемся очевидным равенством pp=, спра­­­­ве­д­ли­вым в диапазоне комнатных температур Т300 К. Под­­с­та­в­­ляя в это равенство значения  pp и  из выражений (2.30) и (2.31) и бе­ря натуральные логарифмы от левой и правой частей, по­лучим сле­дующее выражение

.                      (2.35)  

Из этого выражения получаем, что значение энергии, со­от­ве­т­ст­­ву­ющей положению уровня Ферми WF в дырочном полу­про­во­­д­ни­ке рассчитывается по формуле

. (2.36)

График функции WF=f(T) при­веден на рис. 2.5. Ана­лиз это­го ри­­сунка и формулы (2.36) позволяет сделать сле­ду­ю­­щие вы­во­ды.

При Т=0 уро­вень Ферми в ды­рочном полу­­про­­во­д­­­­ни­ке ра­­с­­­по­ла­­га­ет­ся посередине ме­ж­­ду по­­тол­ком валентной зо­­ны  и уро­­­в­нем ак­­цеп­то­р­ной  при­ме­си, то есть WF =(Wv+Wa)/2.

 С во­­­­з­­ра­­с­та­­­ни­ем температуры эне­р­­­­гия уро­­в­­­ня Ферми WF на­чи­на­­ет по­­сте­пе­н­­но уве­­­ли­чи­ва­ть­ся и при тем­пе­­ра­туре ис­то­ще­­ния Т=Тs  пе­ре­се­ка­ет уро­­­вень ак­це­п­­­­торной при­ме­­си Wa. Поскольку WF=Wa, то ра­ве­н­с­тво (2.35) мо­­ж­но за­пи­сать в виде lnNa=lnNv+(Wv-WF)/kT, от­куда сле­­ду­­ет, что

.                                       (2.36)

Подставляя в выражение (2.36) значение Т=Тs из формулы (2.33) и, учитывая, что DWa=Wa-Wv , дей­ст­ви­тельно получаем, что WF=Wa.

При тем­пе­ра­ту­рах, больших температу­ры ис­­­то­­­ще­ния, по­ло­же­­ние уро­в­ня Фер­­ми смеща­ется вверх к се­ре­­ди­не за­­­п­ре­­ще­­н­ной зо­ны, что сви­­­де­­­тель­ст­ву­­­­ет о плав­ном пе­­ре­­хо­­де от ды­­­­ро­ч­ной к со­­б­­с­т­­вен­­ной про­­­­­­­во­ди­мо­­сти полу п­ро­­во­д­ни­ка.

В полупроводнике p-типа в диапазоне температур TsTTi  концентрация основных носителей (дырок) pp=Na, а концентрация неосновных носителей – ,электронов, рассчитывется исходя из закона равновесия масс

.                                              (2.37)

Заметим, что при­­­­ме­с­ные энерге­ти­че­с­кие уро­­­­­­­­в­­­ни, для которых ха­­­ра­­к­те­р­на не­боль­шая энергия ио­­­ни­­за­ции, со­­с­та­­­вляю­щая не­­­­­­с­коль­ко со­­­­­тых до­­лей эВ, при­­­нято на­зы­вать ме­л­ки­ми уро­­­в­ня­ми. На­ря­­ду с при­­ме­ся­ми, со­­з­да­ю­щими ме­­­­­л­­­кие уро­в­­­ни, для ле­­ги­­­ро­ва­­ния по­лу­про­­во­д­ников ис­поль­­зу­­­ют при­меси, при в­ве­­­де­­нии ко­­­­то­рых в за­­пре­ще­н­ной зоне со­­­з­­да­­ю­тся уровни с эне­р­гией ио­­низации по­ряд­­ка 0,1...0,4 эВ, со­об­­ща­ющие по­­лу­про­во­д­ни­ку ка­чественно но­вые свойства. Такие уро­­в­­ни на­зы­ва­ют глу­бо­ки­ми уро­­­­в­нями (цен­т­рами). В ка­че­­стве при­­­месей, соз­да­ю­щих глу­­бокие при­­ме­с­ные уро­­­­в­­­ни в за­пре­щен­ной зоне по­­лу­про­во­д­ни­ков ис­по­ль­­зуют эле­мен­­ты  1-й группы (Cu, Ag, Au), 6-й груп­пы (S), эле­ме­н­ты гру­п­пы же­­ле­за (Fe, Co, Ni) и не­ко­торые дру­гие.

 

Hosted by uCoz